Page 24 - Ικανότητες μαθητών Ε'-ΣΤ' Δημοτικού στα κλάσματα και επίλυση προβλήματος

από το μέγεθος των κομματιών). Για παράδειγμα, ένας μαθητής παρουσίασε το ένα έκτο

διαιρώντας τον κύκλο σε οκτώ τμήματα και στη συνέχεια χρωμάτισε έξι από αυτά τα τμήματα, και
εισήγαγε έναν αριθμός (1 έως 6) σε κάθε χρωματισμένο τμήμα. Αυτή ήταν μια προσπάθεια να

παρουσιάσει το ένα έκτο επισημαίνοντας κάθε κομμάτι του κύκλου με έναν αριθμό (και όχι σαν

μια κλασματική μονάδα). Σε αυτό το παράδειγμα, ο μαθητής αντιμετωπίζει τον αριθμητή 1 και του
παρονομαστή 6 ως δύο ανεξάρτητους αριθμούς, όχι ως έναν αριθμό που δηλώνει τη σχέση μεταξύ

αριθμητή και παρονομαστή (βλ Jigyel & Afamasaga-Fuata'i 2007 για παρόμοια ευρήματα), ενώ
ταυτόχρονα αγνοεί τα επιπλέον δύο τμήματα.

Πριν από την μελέτη αυτή, Hart (1988) είχε παρόμοια αποτελέσματα όταν εργαζόμενος με
μαθητές δημοτικού, παρατήρησε πως οι μαθητές ήταν σε θέση να χρωματίσουν σωστά σκιά τα δύο

τρίτα ενός κυκλικού μοντέλου, αλλά χρησιμοποιούσαν σχεδόν πάντα μια στρατηγική
καταμέτρησης του αριθμού των τμημάτων στο σχήμα (3 τμήματα συνολικά) και στη συνέχεια

μετρώντας τις ενότητες που απαιτούν σκίαση (2 τμήματα απαιτούν σκίαση), και όχι ερμηνεύοντας

το κλάσμα ως μέρος μιας συνολικής περιοχής, ή κατανοώντας ότι κάθε μία από τις ίσες περιοχές
δείχνουν ένα - ένα τρίτο όλης της περιοχής. Δύο πολλά υποσχόμενες παραστάσεις, όπως

σημειώνεται στην έρευνα μέχρι σήμερα, είναι τα μοντέλα ορθογωνίων και οι αριθμογραμμές
καθώς πάνω σε αυτά είναι δυνατό να κατανεμηθούν ομοιόμορφα και πιο εύκολα σε σχέση με τα

κυκλικά μοντέλα, ακόμα και μονός ή μεγάλος αριθμός τμημάτων (Watanabe, 2012).

Οι Hackenberg & Lee (2012) τονίζουν ότι ακόμη και οι μαθητές που επιδεικνύουν σχετικά

καλή κατανόηση των κλασμάτων δεν είναι σε θέση να συνενώσουν ίσα μέρη ή να επαναλάβουν
αντίστροφη διαδικασία. Δηλαδή, δεν είναι τελικά σε θέση να δουν ένα κλάσμα όπως τα τρία

πέμπτα, ως τρία- ένα πέμπτα και όχι ως μια περιοχή αποτελούμενη από τρία σκιασμένα μέρη

ενσωματωμένα στο πλαίσιο ενός μεγαλύτερου συνόλου. Οι συγγραφείς της μελέτης, επίσης,
επιμένουν στο γεγονός ότι για την πλήρη κατανόηση της μέρος – όλου κλασματικής σχέσης, οι

μαθητές πρέπει να είναι σε θέση να «αποκολλήσουν» αυτά τα μέρη από το σύνολο – δηλαδή, να τα
δουν χωριστά από το σύνολο, διατηρώντας παράλληλα το σύνολο νοητά, «άθικτο» (943) (ενώ η

ίδια η ενσωμάτωση επιτρέπει στο μαθητή να δει εξαρχής το μέρος του συνόλου). Ακόμα και όταν
οι μαθητές είναι σε θέση να διαιρέσουν με ακρίβεια το σύνολο για να δείξουν ένα κλάσμα

(δείχνοντας σωστά τον αριθμό των τμημάτων μέσα στο σύνολο), μπορεί στην πραγματικότητα να

αγνοούν το όλο σαν μια διαισθητική πληροφορία στην κατανόηση της κλασματικής σχέσης.

Ως παράδειγμα των γνωστικών διαδικασιών που απαιτούνται για την «αποκόλληση» των

τμημάτων (έτσι ώστε ο μαθητής να δει τα μέρη κρατώντας νοητά

24